Derrite la 4 tbsp mantequilla sin sal en una Olla Holandesa grande o Olla de fondo pesado sobre fuego medio. Añade la 1 cebolla amarilla mediana picada y 2 tallos de apio picados picados y cocina, revolviendo ocasionalmente, durante 6–8 minutos hasta que estén suavizados y translúcidos. Añade el 3 dientes de ajo picados y cocina durante 1 minuto más hasta que esté fragante.

Añade los 4 cups floretes de brócoli cortados en trozos pequeños, aproximadamente 1 cabeza grande, 4 cups caldo de pollo bajo en sodio, ½ tsp pimentón ahumado, ¾ tsp sal kosher más si es necesario y ½ tsp pimienta negra recién molida. Revuelve para combinar. Lleva a ebullición, luego reduce el fuego a fuego medio-bajo. Cocina a fuego lento sin tapar durante 15–18 minutos, hasta que el 4 cups floretes de brócoli cortados en trozos pequeños, aproximadamente 1 cabeza grande esté muy tierno y fácil de atravesar con un tenedor.

Usa una Batidora de Inmersión para mezclar parcialmente la sopa — pulsa algunas veces para desmenuzar la mayoría del 4 cups floretes de brócoli cortados en trozos pequeños, aproximadamente 1 cabeza grande dejando algunos trozos pequeños para la textura. Alternativamente, transfiere aproximadamente la mitad de la sopa a una Batidora, mezcla hasta que esté suave, y revuelve nuevamente en la Olla.

Reduce el fuego a fuego bajo. Revuelve la 1 cup crema pesada y la 1 tsp mostaza Dijon. Deja que la sopa se caliente durante 2–3 minutos — no dejes que hierva en esta etapa.

Retira la Olla del fuego. Añade el queso 3 cups queso cheddar fuerte recién rallado, compactado rallado en dos o tres puñados, revolviendo bien entre cada adición hasta que se derrita completamente y esté suave. Prueba y ajusta la ¾ tsp sal kosher más si es necesario y la ½ tsp pimienta negra recién molida según sea necesario.

Sirve en boles y cubre con queso 3 cups queso cheddar fuerte recién rallado, compactado rallado adicional y cebollino fresco cortado finamente fresco si lo deseas. Sirve inmediatamente.