Preheat your Oven to 325°F. Pat the 3 ½ lb paleta de cerdo con hueso, también llamada espaldilla de cerdo; grasa en exceso recortada completely dry with paper towels — this is key for a good sear. Season all over generously with 1.5 cucharaditas de sal kosher and 1.5 cucharaditas de sal kosher.

Heat the 2 cucharadas de aceite de oliva in a large Dutch Oven over medium-high heat until shimmering. Add the 3 ½ lb paleta de cerdo con hueso, también llamada espaldilla de cerdo; grasa en exceso recortada and sear undisturbed for 4–5 minutes per side until deeply golden-brown on all sides, including the ends. Don't rush this step — the crust adds major flavor. Transfer the 3 ½ lb paleta de cerdo con hueso, también llamada espaldilla de cerdo; grasa en exceso recortada to a plate and set aside.

Reduce the heat to medium. Add the sliced 1 cebolla amarilla cortada por la mitad y en rodajas finas, 3 zanahorias peladas y cortadas en trozos de 2 pulgadas, and 3 tallos de apio cortados en trozos de 2 pulgadas to the Dutch Oven. Cook, stirring occasionally, until softened and lightly browned, about 5–6 minutes. Scrape up any browned bits from the bottom as you stir.

Add the smashed 4 dientes de ajo triturados and 2 cucharadas de pasta de tomate. Stir and cook for 1–2 minutes until the 2 cucharadas de pasta de tomate darkens slightly and becomes fragrant.

Pour in the 2 tazas de sidra de manzana dura seca o semiseca preferida and 1 taza de caldo de pollo bajo en sodio. Stir in the 2 cucharadas de mostaza de grano entero. Bring to a gentle simmer and scrape up any remaining browned bits from the bottom of the Pot.

Nestle the seared 3 ½ lb paleta de cerdo con hueso, también llamada espaldilla de cerdo; grasa en exceso recortada back into the Pot — it should be about halfway submerged in liquid. Tuck in the 5 ramas de tomillo fresco sprigs, 2 hojas de laurel, and 2 tazas de sidra de manzana dura seca o semiseca preferida wedges (if using) around the 3 ½ lb paleta de cerdo con hueso, también llamada espaldilla de cerdo; grasa en exceso recortada.

Cover the Dutch Oven with a tight-fitting lid and transfer to the preheated Oven. Braise for 2.5 to 3 hours, turning the 3 ½ lb paleta de cerdo con hueso, también llamada espaldilla de cerdo; grasa en exceso recortada once halfway through, until the meat is completely fork-tender and pulls apart easily. A fork should slide in with almost no resistance.

Carefully transfer the 3 ½ lb paleta de cerdo con hueso, también llamada espaldilla de cerdo; grasa en exceso recortada to a Cutting Board and tent loosely with Aluminum Foil to rest. Discard the 5 ramas de tomillo fresco sprigs and 2 hojas de laurel. Using a Ladle or large Wooden Spoon, skim off any excess fat from the surface of the braising liquid.

Place the Dutch Oven on the Stovetop over medium-high heat. Simmer the braising liquid and vegetables for 8–10 minutes until slightly reduced and the sauce coats a Wooden Spoon. Remove from heat and swirl in the cold 1 cucharada de mantequilla sin sal fría until melted and glossy. Add the 2 tazas de sidra de manzana dura seca o semiseca preferida and taste for 1.5 cucharaditas de sal kosher, adjusting as needed.

Use two forks or your hands to pull the 3 ½ lb paleta de cerdo con hueso, también llamada espaldilla de cerdo; grasa en exceso recortada into large, rustic chunks or shred it completely — your choice. Arrange on a serving platter or individual plates, spoon the pan sauce and vegetables generously over the top, and garnish with fresh 2 cucharadas de perejil fresco de hoja plana toscamente picado if desired. Serve immediately.